Kooperative spieltheorie

kooperative spieltheorie

ᐅkooperative Spieltheorie im Online-Lexikon: häufig von beeindruckender mathematischer Eleganz gekennzeichnet, hat aber in den Wirtschafts- und. Apr. Die kooperative Spieltheorie behandelt die Bildung von Koalitionen in kooperativen Spielen. Dabei versuchen die Spieler durch günstiges. 5. Jan. Kooperative Spieltheorie: The Core – Der Kern. Elisabeth Dannecker. Eingereicht von: Elisabeth Dannecker. Studienfach: VWL-Diplom.

Bemerkung Die Menge aller Imputationen eines reduzierten Spieles ist gegeben durch. Jedes wesentliche kooperative Spiel ist einem reduzierten kooperativen Spiel strategisch äquivalent.

Hieraus lassen sich k und c i berechnen. Bemerkung Die in der Definition angesprochene Abbildung beinhaltet unter Umständen auch eine Umnummerierung bzw.

Die Dominanz bleibt bei strategischer Äquivalenz erhalten. Damit sind alle Eigenschaften der Dominanz für gezeigt. Bemerkung Zur Untersuchung der Dominanzstruktur genügt es daher in vielen Fällen die strategischen Äquivalenzklassen von Spielen zu betrachten.

Teilweise genügt die Betrachtung von superadditiven Spielen wie die folgende Definition und der darauf folgende Satz zeigt.

Ist T einelementig, so ist dies die einzige Zerlegung von T und es gilt Gleichheit. Die Menge ist immer eine spezielle Zerlegung von. Damit gilt Also das Spiel ist superadditiv.

Unwesentliche Spiele, für die eine Zuteilung exestiert, sind einem Nullspiel strategisch, also auch dominanz-äquivalent. Null-Spiele sind superadditiv und somit identisch zu ihrer superadditiven Hülle.

Betrachten wir nun wesentliche Spiele. Dies folgt aus den beiden Beziehungen. Es gibt dann ein mit. Es gibt somit ein mit. Nehmen wir an, dass es eine Zerlegung E von T gibt, mit.

Ferner gibt es mindestens ein , so dass. Andernfalls wäre , mit der Konsequenz , was ein Wiederspruch zu der Annahme wäre. Wie bereits in der Bemerkung zur Definition des Begriffes der Dominanz erläutert, werden sich in einem kooperativen Spiel alle Spieler mit einer Imputation zufrieden sein, die von keiner anderen dominiert wird.

Denn es lässt sich neben der Koalition, die der nicht dominierten Imputation x zugrunde liegt, keine weitere Koalition mit einer zugehörigen Imputation y finden, bei der alle Mitglieder mehr erhalten als bei x.

Perfekte Information , also die Kenntnis sämtlicher Spieler über sämtliche Züge sämtlicher Spieler, ist eine rigorose Forderung, die in vielen klassischen Spielen nicht erfüllt ist: Sie ist beispielsweise in den meisten Kartenspielen dadurch verletzt, weil zu Spielbeginn der Zug des Zufallsspielers und die Verteilung der Blätter unbekannt ist, da man jeweils nur die eigenen Karten einsehen kann.

Darum wird in spieltheoretischen Modellen meist nicht von perfekter Information ausgegangen. Perfektes Erinnerungsvermögen ist das Wissen jedes Spielers über sämtliche Informationen, die ihm bereits in der Vergangenheit zugänglich waren.

Obwohl diese Annahme zumindest vom Prinzip her auf den ersten Blick immer erfüllt zu sein scheint, gibt es Gegenbeispiele: Spiele werden meist entweder in strategischer Normal- Form oder in extensiver Form beschrieben.

Weiterhin ist noch die Agentennormalform zu nennen. Da es Spiele gibt, denen keine dieser Formen gerecht wird, muss bisweilen auf allgemeinere mathematische oder sprachliche Beschreibungen zurückgegriffen werden.

Die Extensivform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen , die sich auf die Baumdarstellung zur Veranschaulichung der zeitlichen Abfolge von Entscheidungen stützt.

Die Normalform beschränkt sich im Wesentlichen auf die A-priori- Strategiemengen der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der gewählten Strategiekombinationen.

Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Strategien zeitgleich und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen.

Zur Veranschaulichung verwendet man meist eine Bimatrixform. Wer oder was ist eigentlich ein Spieler in einer gegebenen Situation?

Die Agentennormalform beantwortet diese Frage so: Jeder Zug im Verlauf eines Spiels verlangt nach einem Spieler im Sinne eines unabhängigen Entscheiders, da die lokale Interessenlage einer Person oder Institution von Informationsbezirk zu Informationsbezirk divergieren kann.

Dazu verfügt die Agentennormalform generell über so viele Spieler bzw. Agenten, wie es Informationsbezirke persönlicher Spieler gibt. Sobald ein Spiel definiert ist, kann man sodann das Analyseinstrumentarium der Spieltheorie anwenden, um beispielsweise zu ermitteln, welche die optimalen Strategien für alle Spieler sind und welches Ergebnis das Spiel haben wird, falls diese Strategien zur Anwendung kommen.

Die obige Fragestellung — welche möglichen Ausgänge ein Spiel hat, wenn sich alle Spieler individuell optimal verhalten — kann durch die Ermittlung der Nash-Gleichgewichte eines Spiels beantwortet werden: Die Menge der Nash-Gleichgewichte eines Spiels enthält per Definition diejenigen Strategieprofile, in denen sich ein einzelner Spieler durch Austausch seiner Strategie durch eine andere Strategie bei gegebenen Strategien der anderen Spieler nicht verbessern könnte.

Für andere Fragestellungen gibt es andere Lösungskonzepte. Wichtige sind das Minimax-Gleichgewicht , das wiederholte Streichen dominierter Strategien sowie Teilspielperfektheit und in der kooperativen Spieltheorie der Core, der Nucleolus , die Verhandlungsmenge und die Imputationsmenge.

Während die reine Strategie eines Spielers eine Funktion ist, die jeder Spielstufe, in der die Aktionsmenge des Spielers nicht leer ist, eine Aktion zuordnet, ist eine gemischte Strategie eine Funktion, die jeder Spielstufe, in der die Aktionsmenge des Spielers nichtleer ist, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über der in dieser Spielstufe verfügbaren Aktionsmenge zuordnet.

Damit ist eine reine Strategie der Spezialfall einer gemischten Strategie, in der immer dann, wenn die Aktionsmenge eines Spielers nichtleer ist, die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse auf eine einzige Aktion der Aktionsmenge gelegt wird.

Man kann leicht zeigen, dass jedes Spiel, dessen Aktionsmengen endlich sind, ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien haben muss.

In reinen Strategien ist die Existenz eines Nash-Gleichgewichtes hingegen für viele Spiele nicht gewährleistet. Die Analyse von Gleichgewichten in gemischten Strategien wurde wesentlich durch eine Reihe von Beiträgen John Harsanyis in den 70er und 80er Jahren vorangebracht.

Im Folgenden sollen auf der Basis der beschriebenen Spielformen und deren Lösungskonzepte einige Probleme genannt werden, die sich in der spieltheoretischen Behandlung als besonders einflussreich erwiesen haben.

Ein Spiel, das nach einmaliger Durchführung nicht wiederholt wird, wird als sogenanntes One-Shot-Game bezeichnet. Wird ein One-Shot-Game mehrmals hintereinander durchgeführt, wobei sich im Allgemeinen die Gesamtauszahlung für jeden Spieler durch die eventuell aufdiskontierten Auszahlungen jedes einzelnen One-Shot-Games ergibt, so spricht man von einem wiederholten Spiel.

In der Spieltheorie unterscheidet man zudem zwischen endlich wiederholten und unendlich wiederholten Superspielen.

Die Analyse wiederholter Spiele wurde wesentlich von Robert J. Ein Lösungskonzept vieler endlich wiederholter Spiele ist die sogenannte Rückwärtsinduktion , indem zunächst die Lösung des letzten One-Shot-Games ermittelt und darauf basierend die Lösungen der vorangegangenen Spiele bis zum ersten Spiel bestimmt werden.

Kennt ein Spieler selbst nur seinen eigenen Typ, während andere nur diesbezügliche probabilistische Erwartungen hegen, so spricht man von unvollständiger, speziell asymmetrischer Information.

Reputationseffekte treten immer dann auf, wenn ein Spieler für andere als einem bestimmten Typ zugehörig identifiziert werden kann.

A game of this kind is known as a cost game. Although most cooperative game theory deals with profit games, all concepts can easily be translated to the cost setting.

The Harsanyi dividend named after John Harsanyi , who used it to generalize the Shapley value in [5] identifies the surplus that is created by a coalition of players in a cooperative game.

To specify this surplus, the worth of this coalition is corrected by the surplus that is already created by subcoalitions. The function d v: Harsanyi dividends are useful for analyzing both games and solution concepts, e.

A cooperative game and its dual are in some sense equivalent, and they share many properties. For example, the core of a game and its dual are equal.

For more details on cooperative game duality, see for instance Bilbao The subgame v S: Subgames are useful because they allow us to apply solution concepts defined for the grand coalition on smaller coalitions.

Characteristic functions are often assumed to be superadditive Owen , p. This means that the value of a union of disjoint coalitions is no less than the sum of the coalitions' separate values:.

This follows from superadditivity. A coalitional game v is considered simple if payoffs are either 1 or 0, i.

Equivalently, a simple game can be defined as a collection W of coalitions, where the members of W are called winning coalitions, and the others losing coalitions.

It is sometimes assumed that a simple game is nonempty or that it does not contain an empty set. However, in other areas of mathematics, simple games are also called hypergraphs or Boolean functions logic functions.

A few relations among the above axioms have widely been recognized, such as the following e. More generally, a complete investigation of the relation among the four conventional axioms monotonicity, properness, strongness, and non-weakness , finiteness, and algorithmic computability [8] has been made Kumabe and Mihara, [9] , whose results are summarized in the Table "Existence of Simple Games" below.

The restrictions that various axioms for simple games impose on their Nakamura number were also studied extensively. Let G be a strategic non-cooperative game.

Then, assuming that coalitions have the ability to enforce coordinated behaviour, there are several cooperative games associated with G. These games are often referred to as representations of G.

The two standard representations are: This assumption is not restrictive, because even if players split off and form smaller coalitions, we can apply solution concepts to the subgames defined by whatever coalitions actually form.

Researchers have proposed different solution concepts based on different notions of fairness. Some properties to look for in a solution concept include:.

An efficient payoff vector is called a pre-imputation , and an individually rational pre-imputation is called an imputation. Most solution concepts are imputations.

A stable set is a set of imputations that satisfies two properties:.

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Gefangenendilemma (Nash-GG) Entsprechend komplex gestalten sich die Prozesse. Jedes wesentliche kooperative Spiel ist einem reduzierten kooperativen Spiel strategisch äquivalent. Die Situation ist aber ein Gefangenendilemma, wie man erkennen kann, denn wenn beide Spieler die Strategie "abgeben" wählen würden, also ein Tausch zustande käme, würde jeder Spieler einen höheren Payoff erreichen. Wer seinen Markt als Eigentum betrachtet und Neueinsteiger juristisch bekämpfen will, kann nur verlieren, meint Springer-Autor und Zukunftsmanager Heino Hilbig. Bei transferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine reelle Zahl zugeordnet, die man den Wert englisch: Das Nullellement ist und eine Basis besteht z. Navigation Hauptseite Themenportale Zufälliger Artikel. Zum einen hängen die Auszahlungen von den Koalitionsfunktionen ab, zum anderen von dem angewandten Lösungskonzept. Der Kern eines Spiels ist häufig leer oder besteht aus einem Kontinuum von Punkten Auszahlungsprofilen. Ebenso können nichtkooperative Spiele in extensiver Form oder Agentennormalform Normalform kooperatives Verhalten abbilden. Nichttransferierbarer Nutzen liegt z. Kooperative Spieltheorie Aus Wikiludia. Mindmap kooperative Spieltheorie Quelle: Denn es lässt sich neben der Koalition, die der nicht dominierten Imputation x zugrunde liegt, keine weitere Koalition mit einer zugehörigen Imputation y finden, bei der alle Mitglieder mehr erhalten als bei x. Handbook of Social Choice and Welfare. Perfekte Informationalso die Kenntnis sämtlicher Spieler über sämtliche Züge sämtlicher Spieler, ist eine rigorose Forderung, die in vielen klassischen Spielen nicht erfüllt ist: Individuelle Rationalität bedeutet, dass die Summe aller Auszahlung an die Spieler immer gleich der maximal möglichen Auszahlung V N an die gesamte Gruppe der Championslig ist. Entscheidend für Darstellung und Lösung ist der Informationsstand der Spieler. Die Analyse von Gleichgewichten in gemischten Strategien wurde wesentlich durch eine Reihe von Beiträgen John Harsanyis in kooperative spieltheorie 70er und bonus englisch Jahren vorangebracht. Beste Spielothek in Düppel finden verfügt die Agentennormalform generell über so viele Spieler bzw. Beispielsweise gibt es im Handschuhspiel Spieler mit linken Handschuhen und solche mit rechten Handschuhen. Betrachten wir nun wesentliche Spiele. Jeder Zug im Verlauf eines Spiels verlangt nach einem Spieler im Sinne eines unabhängigen Entscheiders, da die lokale Interessenlage einer Person oder Institution von Informationsbezirk zu Freie casino spiele divergieren kann. Für andere Fragestellungen gibt es andere Lösungskonzepte. It is opposed to the traditional non-cooperative game theory which focuses on predicting individual players' actions and payoffs and analyzing Nash equilibriums. Arrow's impossibility theorem Aumann's agreement theorem Folk theorem Minimax theorem Nash's theorem Purification theorem Revelation principle Zermelo's theorem. Wichtige sind das Minimax-Gleichgewichtdas wiederholte Streichen dominierter Strategien sowie Teilspielperfektheit und in der kooperativen Spieltheorie der Core, der Nucleolusdie Verhandlungsmenge und die Imputationsmenge. Die nichtkooperative Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mikroökonomikwährend die kooperative Spieltheorie einen Theoriezweig eigener Art darstellt. Jeder Zug im Verlauf eines Spiels verlangt nach einem Spieler im Sinne eines unabhängigen Wurde die huuuge casino zentrale gestürmt, da die lokale Interessenlage einer Person oder Institution von Informationsbezirk zu Informationsbezirk divergieren kann. Zunächst zeigen wir die lineare Unabhängigkeit dieser elementaren Casino kursaal oostende. Der Beweis erfolgt durch Induktion über die Anzahl von. Hieraus lassen sich k und c i berechnen. Many of the results in Shapley have analogues in Edmondswhere submodular functions were first presented as generalizations of matroids. Views Read Edit Beste Spielothek in Mackenbruch finden history. Aumann und John Forbes Nash Beste Spielothek in Unterbiederbach finden. Betrachten wir nun wesentliche Spiele. Submodular and supermodular set functions are also studied in combinatorial optimization. Ein Beispiel ist die Tauschökonomie. Ein Spiel, das nach einmaliger Durchführung nicht wiederholt wird, wird Beste Spielothek in Worbis finden sogenanntes One-Shot-Game bezeichnet.

Kooperative spieltheorie -

Ist T einelementig, so ist dies die einzige Zerlegung von T und es gilt Gleichheit. Die Abbildung V wird als Koalitionbewertung oder charakteristische Funktion bezeichnet. Für den Randwert r B einer Koalition B gilt: Entsprechend komplex gestalten sich die Prozesse. Teilen Sie Ihr Wissen. Das Zeuthen-Harsanyi-Modell kann also als nichtkooperative Implementierung der kooperativen Nash-Lösung angesehen werden. Die Möglichkeit zu mehr zeitlicher und örtlicher Flexibilität, beispielsweise zur Arbeit im Homeoffice, macht vor keiner Branche mehr halt. Universität zu Köln, Staatswissenschaftliches Seminar. Das Zeuthen-Harsanyi-Modell kann also als nichtkooperative Implementierung der kooperativen Nash-Lösung angesehen werden. Wie bereits in der Casino soltau zur Definition des Begriffes der Dominanz erläutert, werden sich in einem kooperativen Spiel alle Spieler mit einer Imputation zufrieden sein, die von keiner anderen dominiert wird. Superadditivität wird generell free cash casino no deposit vorausgesetzt. Tipp frankreich deutschland können durch den Tausch von Güterbündeln unterschiedliche Nutzenvektoren Beste Spielothek in Willings finden. Erster Teil des Gastbeitrags. Nun nehmen wir an, dass bereits gezeigt wurde, dass. September um Damit ist die Darstellung einer Koalitionsbewertung durch elementare Koalitionsbewertungen gezeigt. Damit ist es keinem Spieler möglich a nightmare on elmstreet Widerstand gegen eine kooperative spieltheorie dominierte Imputation zu leisten. Ein wesentliches Spiel hat unendlich viele verschiedene Imputationen.

A few relations among the above axioms have widely been recognized, such as the following e. More generally, a complete investigation of the relation among the four conventional axioms monotonicity, properness, strongness, and non-weakness , finiteness, and algorithmic computability [8] has been made Kumabe and Mihara, [9] , whose results are summarized in the Table "Existence of Simple Games" below.

The restrictions that various axioms for simple games impose on their Nakamura number were also studied extensively. Let G be a strategic non-cooperative game.

Then, assuming that coalitions have the ability to enforce coordinated behaviour, there are several cooperative games associated with G.

These games are often referred to as representations of G. The two standard representations are: This assumption is not restrictive, because even if players split off and form smaller coalitions, we can apply solution concepts to the subgames defined by whatever coalitions actually form.

Researchers have proposed different solution concepts based on different notions of fairness. Some properties to look for in a solution concept include:.

An efficient payoff vector is called a pre-imputation , and an individually rational pre-imputation is called an imputation. Most solution concepts are imputations.

A stable set is a set of imputations that satisfies two properties:. Von Neumann and Morgenstern saw the stable set as the collection of acceptable behaviours in a society: None is clearly preferred to any other, but for each unacceptable behaviour there is a preferred alternative.

The definition is very general allowing the concept to be used in a wide variety of game formats. In words, the core is the set of imputations under which no coalition has a value greater than the sum of its members' payoffs.

Therefore, no coalition has incentive to leave the grand coalition and receive a larger payoff. The Nakamura number of a simple game is the minimal number of winning coalitions with empty intersection.

See Nakamura number for details. The Shapley value is the unique payoff vector that is efficient, symmetric, and satisfies monotonicity.

The Shapley value of a superadditive game is individually rational, but this is not true in general. The maximum surplus of player i over player j with respect to x is.

The maximum surplus is a way to measure one player's bargaining power over another. The kernel contains all imputations where no player has this bargaining power over another.

The ordering is called lexicographic because it mimics alphabetical ordering used to arrange words in a dictionary.

This solution concept was first introduced in Schmeidler Continue decreasing the right-hand side for the remaining coalitions, until it cannot be reduced without making the set empty.

Record the new set of coalitions for which the inequalities hold at equality; continue decreasing the right-hand side of remaining coalitions and repeat this process as many times as necessary until all coalitions have been recorded.

The resulting payoff vector is the nucleolus. Introduced by Shapley in Shapley , convex cooperative games capture the intuitive property some games have of "snowballing".

Die kooperative Spieltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Spieltheorie , bei dem im Gegensatz zur nichtkooperativen Spieltheorie den Spielern keine Aktionen oder Strategien zur Verfügung stehen, mit denen sie vorteilhafte Zustände anstreben.

Spieler in der kooperativen Spieltheorie erhalten dagegen Auszahlungen, die auf zwei Pfeilern beruhen. Zum einen hängen die Auszahlungen von den Koalitionsfunktionen ab, zum anderen von dem angewandten Lösungskonzept.

Die Spieler in der kooperativen Spieltheorie werden häufig in einer endlichen Menge N zusammengefasst und die Spieler selbst von 1 bis n durchnummeriert.

Koalitionsfunktionen häufig auch charakteristische Funktionen genannt dienen dazu, die ökonomischen, politischen oder sozialen Möglichkeiten zu beschreiben, die allen Koalitionen offenstehen.

Man unterscheidet Koalitionsfunktionen mit und Koalitionsfunktionen ohne transferierbaren Nutzen; dementsprechend unterscheidet man auch zwischen Spielen mit und ohne Seitenzahlungen.

Bei transferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine reelle Zahl zugeordnet, die man den Wert englisch: Im einfachsten Fall handelt es sich beim transferierbaren Nutzen um eine Geldzahlung.

Beispielsweise gibt es im Handschuhspiel Spieler mit linken Handschuhen und solche mit rechten Handschuhen.

Man nimmt an, dass nur Handschuhpaare einen Wert von 1 Geldeinheit haben. Jedes wesentliche kooperative Spiel ist einem reduzierten kooperativen Spiel strategisch äquivalent.

Hieraus lassen sich k und c i berechnen. Bemerkung Die in der Definition angesprochene Abbildung beinhaltet unter Umständen auch eine Umnummerierung bzw.

Die Dominanz bleibt bei strategischer Äquivalenz erhalten. Damit sind alle Eigenschaften der Dominanz für gezeigt. Bemerkung Zur Untersuchung der Dominanzstruktur genügt es daher in vielen Fällen die strategischen Äquivalenzklassen von Spielen zu betrachten.

Teilweise genügt die Betrachtung von superadditiven Spielen wie die folgende Definition und der darauf folgende Satz zeigt.

Ist T einelementig, so ist dies die einzige Zerlegung von T und es gilt Gleichheit. Die Menge ist immer eine spezielle Zerlegung von.

Damit gilt Also das Spiel ist superadditiv. Unwesentliche Spiele, für die eine Zuteilung exestiert, sind einem Nullspiel strategisch, also auch dominanz-äquivalent.

Null-Spiele sind superadditiv und somit identisch zu ihrer superadditiven Hülle. Betrachten wir nun wesentliche Spiele. Dies folgt aus den beiden Beziehungen.

Es gibt dann ein mit. Es gibt somit ein mit. Nehmen wir an, dass es eine Zerlegung E von T gibt, mit. Ferner gibt es mindestens ein , so dass.

Andernfalls wäre , mit der Konsequenz , was ein Wiederspruch zu der Annahme wäre. Wie bereits in der Bemerkung zur Definition des Begriffes der Dominanz erläutert, werden sich in einem kooperativen Spiel alle Spieler mit einer Imputation zufrieden sein, die von keiner anderen dominiert wird.

Denn es lässt sich neben der Koalition, die der nicht dominierten Imputation x zugrunde liegt, keine weitere Koalition mit einer zugehörigen Imputation y finden, bei der alle Mitglieder mehr erhalten als bei x.

Damit ist es keinem Spieler möglich erfolgreich Widerstand gegen eine nicht dominierte Imputation zu leisten.

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